相控阵雷达以作用距离远、数据率多、目标跟踪多和测量精度高等特点^[1]，在诸多领域具有极其广阔的应用前景，并正朝着大口径、高精度方向发展^[2]。阵面天线作为相阵控雷达的核心组成部分，其安装精度和平面度直接决定着雷达系统性能^[3,4]。阵面天线的拼接偏差会引起辐射信号的相位误差，进而影响雷达系统的增益效果、旁瓣电平及指向精度等关键指标，因此是拼接过程中需严格控制的指标之一^[5,6]，实际的天线阵面不能与理论平面完全一致，存在一定误差。一般而言，口径越大，雷达的结构变形误差也越大，因此在雷达阵面安装过程中给予监测并指导雷达阵面的安装，并能够在安装过程中对雷达阵面进行调整，对保证整个雷达阵面的平面度具有重要意义。

　　Von Hoerner^[7]针对这一问题，提出保型设计的思想，阵面天线在自重变形后，其工作面依然为抛物面，仅从初始的抛物面转变成同族的抛物面，因此变形后的相对RMS为0。但是，这种设计思想依赖于结构的旋转对称性，且未能考虑离散变量等问题，难以加工。此外，大型雷达系统子阵面拼接过程中，由于子阵面的体积和自重较大，吊装效率较低，吊装时子阵面的自由度较多，姿态难以控制，使得大型雷达的面型难以保障^[8]。另外，采用摄影测量和经纬仪测量等方法，能够获得空间点的坐标值，然后基于最小二乘法原理拟合被测阵面天线的面型^[9]，这种面型重构的方法不利于提取单个子阵面的偏差信息，难以为面型的精确调控提供便捷的调整信息。

　　因此，为了解决阵面天线面型检测、重构以及调整的难题，本文提出基于模式重构的方法指导拼接阵面面型的调控。以勒让德多项式为正交基，根据每个子阵面的斜率信息，重构阵面天线的面型;通过建立子阵面斜率与调整机构调整参数之间数学解析关系的方式，实现子阵面姿态的精确调控。

　　1 阵面面型调控原理

　　大规模和高精度是目前大型相控阵雷达的发展趋势和研究热点，相应的阵面天线也朝着大口径和高面型精度技术路线发展。平面度是衡量阵面天线拼接面型的重要技术指标。

　　自相控阵面天线由许多子阵面组成，通过调节各子阵面输出信号的相位和幅值，实现波束形状的快速变换和扫描。这也使得其能够衍生成多种不同的波束，在波束控制方面灵活性更为突出，并且输出信号的功率能在三维空间相互合成，提高工率，有效提高其工作距离和观测精度。

　　相控阵雷达组成如图1所示，主要由3部分组成:安装底盘、天线楼、阵面天线。安装底盘为天线楼起到支撑作用，为阵面天线提供水平参考;天线楼用于安装子阵面，为子阵面提供良好的支撑方式;阵面天线是相控阵雷达的核心部分，其内部含有复杂的波束控制系统及信号处理系统，拼接好的阵面天线用于处理雷达信号。这也表明阵面天线的拼接面型精度直接影响雷达信号的接收性能，如波瓣的增益、指向偏差等。

　　

　　图1 相控阵雷达结构  

　　 

　　实际测试安装的相控阵雷达阵元拼接直径为30m，子阵面尺寸为2m×10m，包含45个子阵面，单个最大质量约9t，阵面安装平面度优于±2mm，雷达面与水平面夹角β为85°。对于这样尺寸和体积阵面天线的拼接与调控，采用现有的技术方案已难以满足高精度的技术指标要求。

　　1.1 拼接面型重构

　　阵面天线的排布形式如图2所示，共包含15行3列，总子阵面数量为45个，子阵面的尺寸为2m×10m(长×宽)，拼接后面型的尺寸为30m×30m(长×宽)。阵面天线与Oxy平面夹角β为85°，阵面天线的宽度方向对应坐标轴的y轴方向。

　　

　　图2 子阵面排布  

　　 

　　因此，阵面天线理想面型满足如式(1)所示数学模型:

　　

　　 

　　其中，子阵面边缘4点A,B,C,D坐标满足式(2):

　　

　　 

　　式中:i=(1,15),j=(1,3)，分别对应子阵面的行和列。在获得理论模型之后，进一步阐述拼接面型重构的方法。

　　基于模式法的拼接阵面重构方式其原理是，根据子阵面在x和y方向上的斜率信息，以正交多项式为正交基，重构阵面天线的面型。采用这种方式有利于分离出子阵面相对于理想平面的倾斜及平移偏差项，便于对子阵面进行直接调控，避免多次测量、多次调整的问题。

　　目前基于模式法进行复原的正交多项式主要分为2种:(1)圆域正交的泽尼克多项式;(2)方域正交的Legendre多项式。由于前者与赛德尔像差项存在对应关系，所以得到较广泛的应用。然而，在采用圆域正交的泽尼克多项式来重构具有正方形区域的面型时，会引入相应的匹配误差，降低面型重构的精度。Legendre多项式仅低阶项与赛德尔像差有对应关系，多用于正方形面型的重构。而本文针对的是正方形区域的面型重构，并且仅对低阶项(倾斜偏差和平移偏差)进行重构。因此，采用Legendre多项式为正交基的重构方式更合理，更能保障重构精度。

　　经过归一化处理之后，二维Legendre多项式在[-1,1]的正方形区域内完备正交^[10,11]，且具有如下表达式:

　　

　　 

　　式中:m,n分别表示一维Legendre多项式的项数。

　　由于其方域内完备正交，而阵面天线的面型为正方形，因此，可采用在x和y方向上独立的二维Legendre多项式来表示拼接阵面面型的空间分布。其二维Legendre多项式的项数k与一维n和m满足如下表达形式:

　　

　　 

　　因此，阵面天线面型的空间分布函数φ(x,y)可表示为:

　　

　　 

　　式中:a_k表示第k项的系数;L_k(x,y)表示第k项二维Legendre多项式的表达形式;l表示在拟合阵面天线面型时所采用的项数。则第Z_ij块子阵面在x和y方向上的斜率信息具有如下表达形式:

　　

　　 

　　假设阵面天线共具有M个子阵面，则式(6)可进一步整理，整理后如式(7)所示:

　　

　　 

　　其中，L_Mkx,L_Mky的表达形式如下所示:

　　

　　 

　　进一步采用矩阵的形式来表示式(7):

　　

　　 

　　式中:G为拼接阵面中子阵面在x和y基准轴上的倾斜量;L表示采用基于Legendre多项式进行拼接阵面重构时的重构矩阵;列向量A为系数。

　　求解式(9)中的系数矩阵A，求解结果如式(10)所示:

　　

　　 

　　式中:L⁺表示矩阵重构矩阵L的广义逆矩阵。

　　因此，仅需获得每个子阵面在x和y方向上的斜率信息，结合所选用的正交基，即可准确复原拼接阵面的面型。

　　而正交基形式已知，仅斜率信息未知。因此，通过测量子阵面的斜率信息，即可获得整体的面型。在获得子阵面的斜率信息时，首先需随机测量第Z_ij块子阵面中3点的坐标值，并分别记为O(x₁,y₁,z₁),P(x₂,y₂,z₂),Q(x₃,y₃,z₃)。则第Z_ij块子阵面的在x和y方向上的斜率分别可根据式(3)计算得出:

　　

　　 

　　式中:g_x,g_y分别表示第Z_ij块子阵面在x和y方向上的斜率。

　　对于每个子阵面，随机测量位于其上3点的空间坐标，根据式(11)的计算过程，即可获得包含所有子阵的斜率信息的矩阵G，而L矩阵为已知条件，则可根据式(10)求解得到列向量A。L_k(x,y)为正交多项式，其表达形式已知，因此将系数矩阵A代入式(5)，即可获得阵面天线面型的数学表达式，实现拼接阵面天线面型的重构。

　　1.2 拼接面型调整

　　基于模式法的阵面重构方式，可将子阵面的姿态误差分解为2项:x和y方向倾斜偏差，平移偏差。因此，姿态调整的过程也应分为倾斜和平移调整2个过程。

　　调整机构分别在每个子阵面的A,B,C,D点处安装液压装置，液压装置均可沿x轴轴向方向水平移动。这样A,B,C,D 4点处的液压装置伸出或收缩行程一致时，即可实现平移偏差的调整;A,B两点联动位移一致，C,D两点位移一致时，即可实现x方向倾斜偏差的调整;A,C两点联动位移一致，B,D两点位移一致时，即可实现y方向倾斜偏差的调整。应首先校正倾斜偏差，最后校正平移偏差。

　　根据拼接阵面理想面型表达式(1)，可求解得到x方向上的理论斜率g_x=-tanβ，y方向的理论斜率g_y=0，并且理想情况下，每个子阵面的斜率信息相等。

　　然而，由于安装误差等误差因素的影响，子阵面的斜率并不能保持一致。通过测量子阵面中3个随机采样点的空间坐标，通过式(11)计算，可求解得到第M个子阵面的斜率信息。进而根据测量所得斜率信息可推导出A,B,C,D点处液压装置的调整量Δ_x:

　　

　　 

　　根据式(12)所解析的调整量，分别对A,B,C,D处的液压装置进行调整，可实现x方向倾斜偏差的调整。

　　进一步对y方向的倾斜偏差进行调整，同样根据式(11)求解得到第M个子阵面的斜率信息，通过建立斜率g_y与调整量Δ_y数学解析关系的方式，解析A,B,C,D处的调整量。y方向的倾斜偏差调整量Δ_y为:

　　

　　 

　　根据式(13)所解析的调整量对A,B,C,D点进行调整，可实现y方向倾斜偏差的调整。

　　进一步整理式(12)与式(13)可获得倾斜偏差与斜率信息的综合表达式，针对倾斜偏差A,B,C,D4点处液压装置的调整量具有如下表达形式:

　　

　　 

　　在两个方向倾斜偏差调整完毕后，拼接阵面的面型仅存在平移偏差待校正。此时仅需使A,B,C,D点平移相同位移，即可完成拼接面型的调整。根据理论面型的数学表达式及A,B,C,D调整点的空间位置关系，可得求解平移偏差调整量Δ_p。平移偏差的调整量Δ_pA_ij=Δ_pB_ij=Δ_pC_ij=Δ_pD_ij，具有如下表达形式:

　　

　　 

　　因此，通过测量子阵面的斜率信息，即可将斜率信息代入式(14)和式(15)中，求解安装于A,B,C,D 4点处液压装置的伸缩调整量。

　　2 误差分析

　　拼接阵面为3×15个，子阵面尺寸为2m×10m，拼接阵面的整体尺寸为30m×30m。未经调整前其面型如图3所示，此时相对于理想平面的PV(波峰波谷值)值达到28.1mm,RMS(均方根值)达到7.9mm，未能达到技术指标偏差±2mm的要求。此时面型较差，需进一步调整。

　　

　　图3 未调整前阵面天线面型  

　　 

　　在子阵面上随机测量3点坐标信息，则需测量135个点的坐标信息。将这135个随机点的空间坐标值代入式(11)可求解得到这45个子阵面的斜率信息，求解结果如图4所示。

　　

　　图4 未调整前阵面天线子阵面斜率信息 

　　 

　　如图4所示，y方向的斜率信息大于x方向，这与实际情况相符。主要是由于在理想情况下，阵面天线的子阵面应与y轴方向平行排布。

　　进一步根据斜率信息求解A,B,C,D点的调整量，并对子阵面进行调整。调整后的面型与理论结果相似，为了进一步探究本文提出方法的可行性，对其与理论面型的残差进行分析。

　　调整后重构的结果与理论的结果残差如图5所示，此时PV值仅为9μm,RMS仅为1μm。

　　结果表明，本文提出的基于模式法的阵面天线拼接阵面调控方法具有较好的理论精度。在理想情况下，能满足技术指标偏差±2mm的要求。然而，在实际的测量过程中由于测量误差的存在，将会降低阵面天线的调控精度。

　　为进一步研究本文提出方法在实际测量中所能达到的精度情况，在采用全站仪测量空间点坐标的前提下，对存在误差情况下的调控效果进行研究。

　　

　　图5 理想情况下调整后阵面天线面型残差  

　　 

　　全站仪测量空间点的坐标误差在±0.5mm的区间范围内。此外，A,B,C,D 4点处安装的液压装置的调整误差在±0.2mm。则空间点坐标的偏差最大应该在±0.7mm。因此，在调整和重构过程中，引入测量点空间坐标±0.7mm的偏差时，根据式(11)求解得到此时的斜率信息根据斜率信息进行面型重构。

　　在测量误差为±0.7mm的条件下，与理想情况相比较，采用本文提出的基于模式重构的调控方法时，重构的面型并未出现明显偏差。为了明确测量误差引起的误差成分，对其与理想情况下的残余偏差进行分析。存在测量误差扰动情况下的面型残差如图6所示。

　　

　　图6 误差扰动情况下阵面天线面型重构残差  

　　 

　　重构的残差结果表明:即使在存在测量误差、调整误差的条件下，采用上述技术方案调整过后，依然能获得较理想的拼接面型，此时面型的RMS=0.47mm,PV=1.8mm，满足技术指标要求。

　　3 结语

　　为解决大口径相控阵雷达中阵面天线在拼接过程中平面度难以调控的问题，本文提出基于模式重构的检测调整方法。通过测量子阵面的斜率信息，以方域正交的Legendre多项式为正交基，获得拼接阵面的重构矩阵;建立子阵面斜率与调整机构参数间的数学解析关系，为拼接阵面的调控提供依据;结合实际情况进行误差分析。结果表明:在误差扰动为±0.7mm的前提下，调控后面型的RMS约可达到0.47mm,PV约为1.8mm，满足技术指标±2mm的要求。